Имеет ли право на отпуск или оплату больничного листа артист, приглашенный в театр для исполнения роли в одном спектакле по срочному трудовому договору (без трудовой книжки) на условии поспектакльной оплаты труда?
Из Вашего вопроса трудно понять, какие отношения у Вас с работодателем.
Если у Вас трудовые правоотношения, и Вы заключили срочный трудовой договор, то на такой договор распространяются все привилегии, как и при трудовом договоре на неопределенный срок (отпуск, оплата больничного листа и т.д.).
Судя по Вашему вопросу у Вас гражданские отношения, т.е. договор подряда, и производится оплата труда по результату работы. На гражданские правоотношения отпуск и оплата больничного листа не распространяется.